CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được Gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta phân biệt ma trận trên là mãi sau. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên có dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Trong khi, ma trận đơn vị là độc nhất. Thật vậy, mang sử tất cả nhì ma trận đơn vị I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

với I’ là ma trận đơn vị chức năng đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp cho n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, trường hợp mãi mãi một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc đó, B được Điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.Quý Khách đang xem: Ma trận nghịch đảo 4x4

Nlỗi vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì chưng trả sử sống thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện thời, có khá nhiều giáo trình nước ngoài sẽ đề cùa tới khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Cách tìm ma trận nghịch đảo

Thật vậy, mang đến A là ma trận cung cấp m x n trên ngôi trường số K. khi kia, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ trường tồn ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp tồn tại ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc đó, đương nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái với khả nghịch yêu cầu.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập thích hợp những ma trận vuông cung cấp n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì chưng với mọi ma trận vuông cung cấp 2 ta mọi có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Quý khách hàng hãy thừ chứng tỏ công dụng trên nhé)

3. Mối quan hệ tình dục giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) ví như E nhận được trường đoản cú ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến hóa sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp dòng tuyệt cột hotline bình thường là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Cách Ngâm Rượu Nho Với Đường Đơn Giản, Để Được Lâu Tại Nhà, 3 Cách Làm Rượu Nho Ngon Miễn Chê

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cái (hay cột) gần như khả nghịch và nghịch đảo của này lại là 1 trong ma trận sơ cấp cho mẫu.

Ta có thể chất vấn trực tiếp tác dụng bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc kia, các xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận thấy tự A vày một số hữu hạn các phxay đổi khác sơ cấp mẫu (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Quý Khách đọc hoàn toàn có thể xem chứng tỏ định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). khi kia, các xác minh sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch Lúc và chỉ Lúc dạng chủ yếu tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In nhận thấy từ A bởi vì một vài hữu hạn những phép biến đổi sơ cấp mẫu (cột); bên cạnh đó, chính dãy các phnghiền biến đổi sơ cung cấp chiếc (cột) đó sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan kiếm tìm ma trận nghịch hòn đảo bởi phép đổi khác sơ cấp:

Ta sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để kiếm tìm nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cấp n bên trên K. Thuật toán này được tạo phụ thuộc kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta triển khai công việc sau đây

Cách 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào mặt đề xuất ma trận A


Lập ma trận đưa ra kăn năn cấp n x 2n

Bước 2: Dùng các phnghiền biến hóa sơ cấp cho dòng để đưa về dạng , trong những số đó A’ là 1 trong ma trận bậc thang bao gồm tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, vào quy trình biến đổi ví như A’ mở ra tối thiểu 1 mẫu ko thì mau chóng Kết luận A ko khả nghịch (không nhất thiết phải gửi A’ về dạng thiết yếu tắc) với xong xuôi thuật toán.

lấy ví dụ minch họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để kiếm tìm ma trận nghịch hòn đảo của: