Derivative là gì toán học

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Tân oán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

I. Đạo hàm (derivative)

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số

*
khẳng định trên D,
*
.

Bạn đang xem: Derivative là gì toán học

Cho

*
số gia
*
(ko riêng biệt dương tốt âm) sao cho:
*
. Ta Call
*
là số gia của hàm số
*
.

Lập tỷ số:

*

Tìm giới hạn của tỉ số bên trên Lúc

*
. Lúc kia, số lượng giới hạn hữu hạn (nếu có) được Hotline là đạo hàm của hàm số trên
*
cùng cam kết hiệu
*

Như vậy:

*

Nếu đặt

*
, ta có:
*

Tổng quát:

*

– Đạo hàm trái: ví như giới hạn

*
trường thọ và hữu hạn thì số lượng giới hạn đó call là đạo hàm bên trái của f(x) trên
*
. Ký hiệu
*

– Đạo hàm phải: nếu như giới hạn

*
vĩnh cửu với hữu hạn thì số lượng giới hạn đó call là đạo hàm mặt bắt buộc của f(x) trên
*
. Ký hiệu
*

– Từ tính chất của giới hạn ta bao gồm định lý sau:

Hàm số f(x) gồm đạo hàm tại

*
Lúc còn chỉ lúc f(x) tất cả đạo hàm trái với đạo hàm phải trên
*
và các đạo hàm đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số:

*
} 1 \\ \endarray \right. " class="latex" />

Tìm

*

Ta có:

*

*

Vậy

*

Do đó: f(x) không có đạo hàm trên x = 1.

Xem thêm: Những Tiêu Chí Đánh Giá Cloud Server Ở Đâu Đảm Bảo Chất Lượng

2. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

3. Các định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) tất cả đạo hàm trên

*
thì f(x) thường xuyên tại đặc điểm này. (Chiều ngược trở lại chưa chắc chắn đúng).

Chứng minh: vì chưng f(x) gồm đạo hàm tại

*
nên:

*

Theo định nghĩa số lượng giới hạn, ta có

*
(
*

Từ đó:

*

Do

*

Vì vậy:

*

Nghĩa là:

*

Hay:

*

Vậy: f(x) liên tiếp tại

*

– Chiều trở lại ko chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 sinh hoạt trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 cơ mà không tồn tại đạo hàm tại điểm này.

– Phản ví dụ 2: Xét hàm số

*
thường xuyên bên trên R nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0.

Xem thêm: Cách Làm Canh Ngao Chua Với Dứa Ngon Nhất, Cách Nấu Canh Ngao Nấu Chua “Ngon Hết Sẩy”

3.2 Định lý 2: (nguyên tắc tính đạo hàm)

Nếu u(x) và v(x) là các hàm gồm đạo hàm trên x thì tổng, hiệu, tích thương thơm cũng có thể có đạo hàm tại x với ta bao gồm các công thức:

1.

*

2.

*

3.

*

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)

Nếu

*
gồm đạo hàm trên
*
*
khẳng định trong một khoảng đựng
*
cùng bao gồm đạo hàm trên
*
. khi đó: hàm
*
tất cả đạo hàm tại
*
với

*

Tổng quát:

*

Chứng minh:

Ta có:

*

Từ định nghĩa số lượng giới hạn, ta suy ra:

*
(1)

trong số đó

*
khi
*

Viết lại đẳng thức (*) ta có:

*
(2)

Chia 2 vế của (3) mang lại

*
ta có:

*

Mặt không giống, vì chưng :

*
nên
*
thì
*

Vậy:

*
(4)

Mà:

*
(5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

*
.

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)

Cho hàm số y = f(x) liên tiếp và đồng đổi mới (hoặc nghịch biến) trong tầm (a,b). Nếu f(x) bao gồm đạo hàm trên

*
cùng
*
thì hàm ngược
*
của f(x) cũng có đạo hàm tại
*
và:

*

Chứng minh:

Vì f(x) là hàm đồng thay đổi (nghịch biến) trong vòng (a,b) yêu cầu tồn tại tuyệt nhất hàm ngược

*


Chuyên mục: Kiến thức